背包问题

各类背包问题集锦

背包问题都是通过 动态规划 来求解的,在此之前需要了解动态规划的相关知识

网上有很好的参考资料:背包问题九讲,自己也是参考该资料入门的。

下面列举一些刷题中遇到的实际的背包问题

  1. 华为机试 16/108 题 -> 购物单

    题目描述

    王强今天很开心,公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:
    主件 附件
    电脑 打印机,扫描仪
    书柜 图书
    书桌 台灯,文具
    工作椅 无
    如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多,为了不超出预算,他把每件物品规定了一个重要度,分为 5 等:用整数 1 ~ 5 表示,第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是 10 元的整数倍)。他希望在不超过 N 元(可以等于 N 元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
    设第 j 件物品的价格为 v[j] ,重要度为 w[j] ,共选中了 k 件物品,编号依次为 j 1 , j 2 ,……, j k ,则所求的总和为:
    v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。(其中 * 为乘号)
    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

    输入描述:

    输入的第 1 行,为两个正整数,用一个空格隔开:N m
    其中 N ( <32000 1="" 2="" 3="" 5="" )表示总钱数,="" m="" (="" <60="" )为希望购买物品的个数。="" 从第="" 行到第="" m+1="" 行,第="" j="" 行给出了编号为="" j-1="" 的物品的基本数据,每行有="" 个非负整数="" v="" p="" q="" 其中="" 表示该物品的价格(="" v<10000="" ),="" 表示该物品的重要度(="" ~="" 表示该物品是主件还是附件。如果="" ,表示该物品为主件,如果="">0 ,表示该物品为附件, q 是所属主件的编号

    输出描述:

    输出文件只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值( <200000 )。

    示例1

    输入
    1000 5
    800 2 0
    400 5 1
    300 5 1
    400 3 0
    500 2 0
    输出
    2200

    有依赖的背包问题: 将依赖转换为分组的背包问题,通过先后迭代 分组g 容量 v 每个分组中的条目 k 来求解最优解

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    #include <iostream>

    using namespace std;

    int getMax(int a, int b)
    {
    return (a>b)?a:b;
    }

    int main()
    {
    int c;//物品个数
    int N;//总钱数
    cin>>N>>c;

    N /= 10; //总钱数是10的倍数,先除以10 以节约空间

    const size_t num = c;
    const size_t money = N;

    //int price[num][3];//进行分组 事实上 num/3 <= 分组数 <= num 这里浪费了空间 clang++ 与 g++的不兼容的问题
    //int value[num][3];
    int price[61][3] = {0};
    int value[61][3] = {0};
    for(int h = 0; h < num; ++h)
    {
    for(int j = 0; j < 3; ++j)
    {
    price[h][j] = 0;
    value[h][j] = 0;
    }
    }

    int i,j,m,n;
    int v,p,q;

    j = 0;
    m = 0;
    n = 0;
    for(i = 0; i < num; ++i)
    {
    cin>>v>>p>>q;
    v /= 10;
    if(q == 0) //主件
    {
    ++j;
    price[j][0] = v;
    value[j][0] = v*p;
    n += m; //记录实际的分组号与q(总的物件数量)的差值
    m = 0;
    }
    else //附件
    {
    if(price[j][1] == 0)//第一个附件
    {
    price[q-n][1] = v;
    value[q-n][1] = v*p;
    }
    else//第二个附件
    {
    price[q-n][2] = v;
    value[q-n][2] = v*p;
    }
    m++;//附件个数计数,为了正确的分组,即当前主件有多少个附件
    }
    }

    const size_t group = j;

    //int dp[group+1][money+1];// 第i个分组 在使用j数量钱 的 最大收益
    int dp[61][3201] = {0};
    for(int j = 0; j <= group; ++j)
    for(int k = 0; k <= money; ++k)
    {
    dp[j][k] = 0;
    }

    //进行动态规划
    for(int i = 1; i <= group; ++i)
    {
    for(int j = money; j > 0; --j)//从最大值开始,防止出现 j - price < 0
    {
    // 三个if就把分组的背包问题转换成了普通的背包问题
    if(j >= price[i][0])//只购买主件dp[i-1][j-price[i][0]] 为空出这么多钱的情况下的最大收益
    dp[i][j] = getMax(dp[i-1][j],dp[i-1][j-price[i][0]]+value[i][0]);
    if(j >= ( price[i][0] + price[i][1] ))//购买主件和1附件
    dp[i][j] = getMax(dp[i-1][j],dp[i-1][j-price[i][0] - price[i][1]]+value[i][0]+value[i][1]);
    if(j >= price[i][0] + price[i][1] + price[i][2])// 购买主件和 1,2 附件
    dp[i][j] = getMax(dp[i-1][j],dp[i-1][j-price[i][0] - price[i][1] - price[i][2]]+value[i][0]+value[i][1]+value[i][2]);
    }
    }
    cout<<10*dp[group][money]<<endl;
    }
  2. 背包问题2

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